il primo teorema : in ogni sistema formale per la teoria dei numeri esiste una formula "indecidibile", cioe' una formula che non e' dimostrabile e di cui neppure la negazione e' dimostrabile.
Secondo teorema : (corollario del primo) : la coerenza di un sistema formale concepito per la teoria dei numeri non puo' esere dimostrata entro il sistema stesso. Una conseguenza di questa affermazioni e' che la verita' di queste asserzioni non e' riducibile alla loro dimostrabilita'. (platonismo di Godel)
di Umberto Bottazzini
I1 più grande logico dopo Leibniz, o addirittura dopo Aristotele». Ecco come John von Neumann non esitò a definire Kurt Godel, . suo collega all'Institute of Advanced Study di Princeton. Non diverso doveva essere il giudizio di Èinstein. «Una volta mi disse - ricordava Oscar Morgenstern - che era entrato nell'Institute solo per avere il privilegio di camminare insieme a Godeil sulla via di casa». Le lettere e i documenti raccolti nei due volumi, che completano l'edizione italiana delle Opere di Godeil(Corrispondenza A-G e H-Z, Bollati Boringhieri, € 100,00 a volume), consentono di ripercorrerne l'opera scientifica e le vicende personali. Le schematiche risposte, che un paio d'anni prina di morire egli affida a un questionario ritrovato tra le sue carte, ci dicono che i suoi genitori erano «un veechio cattolico;» iì padre, mentre la madre era luterana. Egli stesso dichiara che «la mia fede è teistica, non panteistica», si colloca «nel solco di Leibniz piuttosto che di Spinoza». . I suoi primi interessi per la matematica si erano manifestati a quattordici anni, quando aveva avuto tra le mani un manualedi calcolo infinitesimale. Negli annni dell'università a Vienna aveva seguito i corsi di logica tenuti da Rudolf Carnap e, tra il 1926 e il 1928, aveva frequentato con regolarità il Circolo di Vienna, e avuto frequenti discussioni con i membri più giovani. Anche se «col passare del tempo» si era «allontanato sempre di più dalle loro concezioni», riconosceva tuttavia che furono i membri del Circolo a suscitare il suo primo interesse per i fondamenti della matematica. I1 problema di stabilire fondaménti rigorosi per là matematica si era aperto all'inizio del secolo, quando Russell aveva scoperto un paradosso nella teoria degli insiemi, inaugurando così la cosiddetta "crisi dei fondaménti" della matematica. Una "crisi" che in realtà si rivelò essere una straordinaria occasione di crescita della matematica e della logica.All'epoca, il significato della scoperta di antinomie nella teoria degli insiemi fu «pretestuosamente esagerato», ebbe ad affermare una volta Godel. Di fatto, le contraddizioninon comparvero in matematica ma nelle regioni di confine con la filosofia e sono state risolte «in modo del tutto soddisfacente e quasi ovvio per chiunque comprenda la teoria».Dopo anni di accese discussioni tra i matematici, nel settembre 1930 si tenne a Konigsberg un convegno per confrontare i diversi punti di vista emersi nel dibattito sui fondamenti Pòco prima di partire per il convegno, in una conversazione Godel informo' Carnap della scopertadel teorema che oggi porta il suo nome, e che poi presentò pubblicamente a Konisiberg. « punto essenziale del mio risultato - affermava Godel - consiste nel fatto che per ogni sistema formale della matematica esistono proposizioni che si possono esprimere all'interno di questò sistema, ma che gli assiomi del sistema non permettono di decidere», ossia che sono formalmente indecidibili. In altre parole, per qualunque sistema formale coerente, abbastanza potente da esprimere gli enunciati dell'aritmetica ordinaria, esistono enunciati indecidìbili cioè che sono veri ma non possono essere dimostrati con gli strumenti del sistema; Da questa «notevole circostanza» conseguiva poi che «l'affermazione della non contraddittorietà di uno di quei sistemi appartiene sempre alle proposizioni indecidibili di quel sistema"
Von Neumann, presente al convegno, capì ' immediatamente la portata del teorema di Godel, «la più grande scopèrta della logica da molto tempo» cóme apertamente gli scrisse in una lettera. «Ritengo che il suo risultato - aggiungeva in un'altra lettera - abbia risolto negativamente il problema dei fondamenti: non c'è nessuna giustificazione rigorosa della matematica classica». Sebbene il teorema di Godel debba essere preso non con un grano, con diversi chili di sale prima di essere estrapolato dal contesto in qcui è stato originariamente formulato, è stato invocato per giustificare affermazioni nei campi piu' disparati, a partiledal filosofo Lucas, che ne 1961 fece appelló àl teorema di Godel per concludere che «la mente non può essere spiegata comé 'una macchina».Là corrispondenza di gòdel ci offre una chiara testimonianza dell'interesse crescente per le Questioni filosofiche (ed i filosofiadella matematica in particolareìehelo impegolarono negliultì-mi vent'anni dì v4ti I «matematici e filosofi della scienza, perla maggior parte, sono empiristi mentre tutti i tentativi di comprendere in modo soddisfacente laiJjaatematica affinterno di questo punto di'vista sono falliti, e in epoca recente in modo assai evidente», scriveva Godel a Popper il 1o aprile 1964. Tuttavia, continuava Godel, «d'ora in avanti preferisco non scrivere o parlare inmodo particolare di problemi filosofici, poiché non ho ancora sviluppato a sufficiènza un mio proprio punto di vista». Contrariamente a Popper, Godel sosteneva una forma di platonismo Che lo portava ad affermare che «la matematica descrive una realtà non sensoriale, che esiste indipendentemente sia dalle azioni che dalle disposizioni della mente umana e; che viene solo percepita, e probabilmente percepita in modo molto incompleto, dalla mente stessa». Ma «Popper ha contribuito con qualcosa di essenziale alla chiarificazione dei fondamenti della matematica?», chiedeva poi all'amico Bernays nel gennaio 1975, quasi dimenticando che egli stesso lo aveva conosciuto a Vienna nel 1932. «Di recènte - scriveva Godel a Karl Menger, suo professore all'università - ho conosciuto un sìgnor Popper (filosofo), che ha scritto un articolo infinitamente lungo in cui, così dice, vengono risolti tutti i problemi filosofici Egli si è sforzato di risvegliare su di esso il mio interesse e si è anche riferito al fatto che lei lo conosce e che le è molto piaciuto il suo progetto di eliminare dal mondo il problemadel "senso"».
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